Imaginemos a nuestro simpático amigo el sapo embarcándose en una aventura única. Este pequeño explorador debe cruzar un estanque saltando exclusivamente sobre nenúfares. ¿El reto? Solo puede saltar uno o dos nenúfares de una vez, evitando sumergirse en el agua. Ahora nos encontramos con un apasionante problema matemático: ¿de cuántas maneras puede nuestro sapo llegar al nenúfar número cien?

Como buenos matemáticos, definimos nuestro problema utilizando un pequeño truco algebraico. Denotamos con x sub n el número de formas en que el sapo puede llegar al nenúfar n. Empezamos por los primeros pasos del sapo. Sabemos que si el sapo está en el primer nenúfar, hay una sola forma de llegar ahí: comenzar el viaje, es decir, x sub uno igual a uno. Al segundo nenúfar puede llegar de dos maneras: desde el primero o dando un gran salto desde el inicio, así que x sub dos es igual a dos. Cuando alcanza el tercer nenúfar, las formas se incrementan a tres, pues puede venir desde el segundo por pasos cortos o desde el primero con un gran salto, entonces x sub tres es igual a tres.

La magia de este problema radica en su estructura recurrente. Para llegar al nenúfar n, el sapo puede provenir saltando desde el nenúfar n menos uno o n menos dos. Esta propiedad nos lleva a la elegante ecuación de recurrencia x sub n es igual a x sub n menos uno más x sub n menos dos. Es aquí donde descubrimos que nuestro sapo, sin saberlo, ha saltado hacia una famosa secuencia matemática, nada más y nada menos que la secuencia de Fibonacci.

Al escalar estos pasos hasta alcanzar el nenúfar cien, nuestro cálculo nos lleva al ciento unavo número de Fibonacci que, para sorpresa de todos, es enorme. Estamos hablando de quinientos setenta y tres billones, ciento cuarenta y siete mil ochocientos cuarenta y cuatro millones, trece mil ochocientos diecisiete miles ochenta y cuatro formas distintas ¡Vaya proeza!

El sapo no solo sube sobre los nenúfares, sino que también nos hace vislumbrar la belleza de las matemáticas. Esta secuencia no se queda aquí, sino que nos presenta el crecimiento exponencial vinculado al número áureo, esa belleza irracional que también aparece en la naturaleza, el arte y muchos otros ámbitos.

Y, si de repente cambiamos las reglas del juego y permitimos saltos de uno, dos o tres nenúfares, la recurrencia se modifica, abriendo las puertas a nuevas secuencias y resultados.

Después de sumergirnos en estas aguas llenas de matemáticas y diversión, os invitamos a conocer más sobre estos temas en JeiJoLand, donde el aprendizaje se convierte en un juego. Descubre y diviértete mientras aprendes.