Resumamos la gran idea que sacudió las matemáticas sin tecnicismos. El teorema de incompletitud de godel muestra que todo sistema formal lo bastante expresivo contiene verdades que no puede demostrar.

En pocas palabras, si un conjunto de reglas puede describir la aritmética básica, entonces habrá enunciados verdaderos que se le escapan. No es un fallo de cálculo, es un límite estructural. Es como tener un mapa muy detallado que nunca puede contenerse a sí mismo entero.

La receta de Gödel fue ingeniosa. Convirtió fórmulas y pruebas en números, una numeración que permite al sistema hablar de sus propias oraciones. Así construyó una oracion de Godel que, de forma informal, dice algo como esta frase no es demostrable aquí. Si el sistema la probara, caería en contradicción. Si no la probara, seguiría siendo verdadera pero fuera de su alcance. Resultado: el sistema es incompleto.

El segundo golpe es aún más audaz. El segundo teorema afirma que un sistema suficientemente potente no puede certificar su propia consistencia salvo que, de hecho, ya fuera inconsistente. Podemos añadir axiomas y ganar más teoremas, pero siempre aparecerán nuevas afirmaciones independientes que quedarán sin decidir.

Por suerte no todo está condenado a la indecidibilidad. Hay teorías completas y decidibles que esquivan la autorreferencia, como ciertas lógicas de los números reales o algunas geometrías elementales. También existen versiones más pobres de la aritmética, sin multiplicación, donde sí podemos decidirlo todo de manera mecánica.

Nos afecta de varias formas. En verificación de software y en demostración automática de teoremas, estos límites implican que no habrá herramienta perfecta que lo pruebe todo. En filosofía de la matemática, aprendemos que verdad y demostración no siempre coinciden. En computación, se enlaza con la imposibilidad de decidir todos los programas que paran.

Propuesta para jugar mientras aprendemos: escribimos en tarjetas enunciados sobre un sistema imaginario, mezclamos una tarjeta especial que dice no soy demostrable con reglas simples, y retamos a justificar en grupo que ocurre si intentamos probarla. Quien encuentre una contradicción o muestre su independencia gana la ronda.

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