En un hotel infinito como el de Hilbert, existe una alta probabilidad de que al menos un huésped reciba la correcta llave de su habitación. Imagínate un lugar con ganchos para llaves que también son infinitos. Aquí la matemática y el azar se unen para crear un desenlace fascinante.

Analicemos la situación: tenemos una bolsa infinita de llaves y cada una debe encajar con el respectivo gancho. Usamos ciertos eventos, a los que llamaremos tal nodo como A sub-i, para definir que una llave específica está en su lugar. Empleando el principio de inclusión-exclusión, se desvelan los secretos de las probabilidades para que, incluso en la infinitud, haya un orden oculto.

Al poner esto en perspectiva con casos finitos, para dos llaves, sumamos las probabilidades individuales de encontrar su lugar correcto y luego restamos la probabilidad de que ambas estén bien colocadas. Con tres llaves, complicamos un poco más las cosas sumando todas las probabilidades individuales, restando la de los pares y, como si fuera un toque de chef, añadimos la probabilidad de que las tres den en el clavo.

Este método no solo es una cuestión de sumar y restar. Para cualquier cantidad ‘n’ de llaves, encontramos que estas combinaciones forman una especie de danza matemática. Jugando con los números y series, llegamos a la conclusión de que, en un conjunto infinito, al menos una clave coincide con un gancho correcto el sesenta y tres por ciento del tiempo, gracias a el número de Euler mágico, o e. Esto sorprendentemente asoma una certeza en el aparente caos.

Para añadir un toque divertido a este acertijo, ¿por qué no hacer nuestra propia versión en casa? Intentemos con cartas: tomemos un deck y coloquemos las cartas en un orden aleatorio. Luego, comprobemos cuántas coinciden con su posición original en el mazo. ¿Lograremos también un memorable sesenta y tres por ciento?

Así es como el infinito puede ser más comprensible y entretenido de lo que parece. Hagamos que este enigma de llaves y habitaciones sea parte de un juego y visitemos JeiJoLand para más acertijos y diversión.