Los números de Schur marcan el primer punto en el que ya no podemos colorear del uno al n con k colores sin que aparezcan tres números del mismo color que cumplan A + B = C. Dicho de forma más simple, llega un momento en que el juego se rompe y la suma manda.

La idea es bastante visual. Empezamos con pocos números y probamos a repartirlos por colores evitando esa tríada tan testaruda. Con dos colores, el fallo aparece en cinco. Con tres colores, en catorce. Y con cuatro, en cuarenta y cinco. A partir de ahí ya no hablamos de casualidad, sino de un patrón matemático que se repite.

La gran pregunta es si esos puntos de fallo existen siempre. La respuesta es sí, y aquí entra en juego la teoría de Ramsey. En una versión muy resumida, nos dice que en un grafo suficientemente grande y coloreado con k colores siempre acaba apareciendo un triángulo monocromático. Esa idea se usa para construir un argumento que garantiza un límite superior, es decir, que los números de Schur están bien definidos para cualquier número de colores.

El caso de cinco colores tardó mucho más en cerrarse. Su valor, S cinco igual a ciento sesenta y uno, se determinó en dos mil diecisiete con una búsqueda por fuerza bruta asistida por ordenador, usando un SAT solver. El resultado numérico no parece una bestia, pero la verificación sí lo fue: hubo que revisar una cantidad enorme de combinaciones. De hecho, se habla de uno de los mayores proofs matemáticos conocidos por tamaño de datos.

Y la historia sigue abierta. Todavía no conocemos S seis, y encontrarlo no va a ser un paseo por el parque. El problema crece muy rápido y aún no tenemos un método constructivo eficiente.

Podemos convertir esto en un reto de colores: intentar colorear pequeñas secuencias sin formar ninguna terna que cumpla A + B = C y ver cuánto tardamos en fallar. Si nos apetece seguir jugando con ideas matemáticas así, nos pasamos por JeiJoLand.