En un sorteo imaginario descubrimos que la funcion raffle asigna a cada número natural tantos boletos como divisores y coincide con la clásica función de Euler. Con esta idea podemos calcular de forma rápida cuántos boletos muestra cualquier número sin perdernos en cuentas largas.

Primero vamos a lo general. Si un número es primo, tiene un boleto menos que su valor. Al estudiar casos y jugar con divisores, vemos que la regla es multiplicativa: si dos números no comparten factores, el total de boletos para su producto es el producto de sus totales. Esa pista encaja con la función de Euler, que cuenta cuántos enteros positivos menores o iguales que n son coprimos con n.

Cómo calcularla en la práctica. Descomponemos el número en factores primos distintos y aplicamos la fórmula en palabras: tomamos el propio número y lo multiplicamos por un factor uno menos uno partido por p para cada primo p que lo divide. En corto, es el número por el producto de uno menos uno entre cada primo.

Ejemplo rápido. Para cuarenta y dos, que es dos por tres por siete, multiplicamos cuarenta y dos por uno menos un medio, por uno menos un tercio y por uno menos un séptimo. El resultado es doce boletos. Para dos mil veinticuatro, que es dos al cubo por once por veintitrés, hacemos lo mismo y obtenemos ochocientos ochenta boletos.

Además, nunca nos quedamos sin premio de consolación. Siempre hay al menos un boleto asociado a cada número natural. Para uno es uno; para cualquier primo es su valor menos uno; y para compuestos basta seguir la regla multiplicativa.

Propuesta de juego: cada día elegimos un número al azar, lo factorizamos a mano en menos de un minuto y anotamos cuántas entradas coprimas tiene; quien más acierte en la semana gana un reto matemático breve.

Si queremos seguir aprendiendo entre juegos y matemáticas, visitemos JeiJoLand.