En pocas líneas veremos por qué el área bajo e elevado a menos x al cuadrado en toda la recta real vale la raiz cuadrada de pi. Lo haremos con una idea elegante y sin fórmulas rebuscadas, empezando por la integral gaussiana.
La función e elevado a menos x al cuadrado dibuja una campana suave, simétrica respecto al origen. Toma su valor máximo uno en x igual a cero y desciende rápido hacia ambos lados. Esa forma nos sugiere que el área total es finita, un detalle clave en probabilidad y estadística porque esta curva está muy cerca del corazón de la distribución normal.
El camino directo de integrar no funciona porque no existe una primitiva elemental. Así que jugamos una carta distinta. Llamamos I al área total y miramos I al cuadrado. Multiplicar la integral por sí misma nos permite reinterpretar el problema como un área en el plano, con un doble integral sobre todas las parejas x e y. Gracias a la simetría la cosa se simplifica y deja de parecer magia.
Aquí entra la herramienta que lo hace fácil: pasamos a coordenadas polares. En lugar de x e y usamos r y theta, que recorren todo el plano con comodidad. El pequeño trozo de área cartésico se convierte en r por dr por dtheta, y los límites se vuelven limpios. El radio va desde cero hasta infinito y el ángulo desde cero hasta dos pi.
La función también coopera. El exponente suma los cuadrados de x e y, que en polares son r al cuadrado. Así el integrando queda e elevado a menos r al cuadrado multiplicado por r. La parte angular se integra sin esfuerzo y da un factor dos pi. La parte radial se resuelve con un cambio de variable sencillo y aporta un medio. Al multiplicar ambos factores obtenemos pi. Con eso, I al cuadrado es pi y, por tanto, I es la raiz cuadrada de pi.
¿Por qué importa esto más allá de la elegancia del cálculo. Porque al escalar esta campana obtenemos la densidad normal estándar, pieza central en inferencia, intervalos de confianza y muchos modelos estocásticos. Saber de dónde sale la raiz cuadrada de pi nos da intuición sobre constantes de normalización y sobre por qué ciertas probabilidades encajan tan bien con fenómenos reales.
Si queremos una imagen mental, pensemos en círculos concéntricos que capturan anillos cada vez más lejos del origen. El factor r compensa cuántos puntos hay en cada anillo y el exponente e elevado a menos r al cuadrado frena el aporte de los anillos lejanos. Equilibrio perfecto: ni explota ni se queda corto.
Propuesta para jugar mientras aprendemos: recortamos tarjetas con los pasos clave definir I, pasar a I al cuadrado, cambiar a polares, separar parte radial y angular, concluir y las ordenamos contra reloj. Quien las coloque en el orden correcto explica cada paso en una frase clara.
Vamos a visitar JeiJoLand para seguir aprendiendo sin perder la sonrisa.