Queremos calcular el área de un muro para pintarlo y, de paso, entender por qué existen las integrales. Lo veremos con el concepto de integral aplicado a franjas verticales que se vuelven cada vez más finas.
Si el muro es rectangular, multiplicamos base por altura y listo. Cuando la silueta se ondula, ese truco ya no basta. Dividimos el muro en franjas verticales. Cada franja se parece a un rectángulo y sumamos sus áreas. Cuantas más franjas, mejor aproximación y menos pintura de sobra.
Al hacer las franjas cada vez más estrechas, la suma se acerca al área real. En matemáticas formalizamos esa idea con cantidades tan pequeñas que casi desaparecen, los infinitesimales. Para capturarlo usamos el simbolo de integral, que representa sumar infinitas franjas de altura variable. Para que el cálculo tenga sentido, fijamos un rango de integración entre un inicio y un final en la base del muro.
Esta suma continua no solo sirve para pintura. También conecta con las derivadas. La derivada cuenta cómo cambia una función punto a punto, y la integral acumula esos cambios a lo largo de un intervalo. El teorema fundamental del cálculo dice que integrar una derivada en un rango da el cambio total.
Al interpretar áreas bajo una curva conviene recordar que lo que queda por encima del eje aporta positivo y lo que queda por debajo aporta negativo. Por eso una integral puede dar cero aunque haya superficie. Si la función diverge o explota en algún punto, la integral puede ser infinita.
También podemos integrar en rangos infinitos. Sorpresa agradable, hay funciones que, pese a extenderse sin fin, acumulan un área finita. Otras no, así que conviene comprobar la convergencia antes de sacar el rodillo.
Cuando quitamos los límites hablamos de integrales indefinidas. Son familias de funciones cuya derivada devuelve la original. Recogen en una sola expresión lo que pasa en todas las integrales definidas y añaden una constante porque hay muchas antiderivadas posibles.
La utilidad va mucho más allá de pintar. En física aparecen en energías, en probabilidades y en la acción, una cantidad que resume la historia de un sistema y guía sus ecuaciones.
Propuesta de juego breve: dibujamos una curva sencilla sobre una cuadrícula, la cortamos con tiras delgadas y cada persona estima el área sumando rectángulos; quien más se acerque gana.
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