Buscamos cuaternas de enteros positivos donde la suma de sus cuadrados coincide con el producto y queremos producir muchas soluciones sin romper nada. Lo hacemos con la involucion de vieta.
La ecuación dice así: tomamos cuatro números enteros positivos y pedimos que la suma de sus cuadrados sea igual al producto de los cuatro. No es ciencia ficción. El ejemplo más simple es dos, dos, dos y dos, porque sus cuadrados suman dieciséis y su producto también es dieciséis.
El truco está en mirar la ecuación como una cuadrática en una sola variable. Fijamos Y, Z y W, y dejamos que X sea la incógnita. Al reordenar, aparece una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros, y sus dos raíces se suman y se multiplican de forma controlada. Si una raíz es X, la otra es X prima, que se obtiene como el producto Y por Z por W menos X. Así saltamos de una solución a otra y seguimos en enteros.
Probamos el salto en el ejemplo base. Con Y, Z y W iguales a dos, el producto Y por Z por W vale ocho. Cambiamos X por X prima, que es ocho menos dos, y obtenemos seis, dos, dos y dos. Comprobación rápida: cuadrados iguales a treinta y seis, cuatro, cuatro y cuatro, que suman cuarenta y ocho; y el producto seis por dos por dos por dos también da cuarenta y ocho. Podemos seguir saltando indefinidamente y siempre caemos en soluciones enteras.
Este mecanismo genera familias infinitas y, si imponemos una cota superior R a los valores de X, Y, Z y W, podemos contar cuántas soluciones caben por debajo de esa cota. La teoría sugiere un crecimiento como una potencia del logaritmo de R. La potencia que manda el ritmo es una constante beta intrigante, que numéricamente parece estar entre dos coma cuarenta y tres y dos coma cuarenta y ocho. No sabemos si es racional, y eso abre una puerta a preguntas finas sobre densidad, estructuras de grafos de soluciones y comportamientos asintóticos.
Para jugar y aprender, proponemos un reto exprés: partimos de dos, dos, dos y dos, aplicamos el salto X prima igual a Y por Z por W menos X durante cinco rondas y apuntamos las cuaternas distintas que aparecen. Gana quien acumule más sin repetir.
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